Леонид Константинов родился в поселке Липовка Ибресинского района. В 1968 году он пошел в первый класс. Первым учителем был Соловьев Василий Дмитриевич. Леня хорошо учился в школе. После окончания в 1978 году Липовской средней школы поступил учиться в Сызранское высшее военное авиационное училище.
С 1982 года служил в 12-м отдельном авиационном полку в городе Кобулети Грузинской ССР, был старшим лётчиком-штурманом, с 1983 года - командиром вертолета Ми-8. Также освоил вертолёт Ка-27. В 1983-1985 годах участвовал в боевых действиях в Афганистане на вертолетах Ми-8 и Ка-27. С 1987 года командовал вертолётным отрядом в Кобулети, с 1991 года был заместителем командира вертолётной эскадрильи.
С 1992 года Константинов - командир вертолетной эскадрильи Федеральной пограничной службы (ФПС) России. В 1997 году назначен офицером группы специалистов оперативно-войскового отдела "Астрахань" Северо-Кавказского пограничного округа. С августа 1998 года вновь командовал вертолетной эскадрильей в 12-м отдельном авиационном полку, который был уже выведен в Россию.
Проявил мужество и героизм при ликвидации осетино-ингушского вооруженного конфликта и в боях первой и второй чеченских войн. В конце 1999 года - начале 2000 года в должности командира специально сформированной авиационной группы ФПС РФ «Гизель» принимал участие в пяти успешных операциях по высадке десантов на российско-грузинской границе в Аргунском ущелье. Тогда в сложных условиях горно-лесистой местности в зимнее время года были перерезаны пути снабжения чеченских боевиков из-за рубежа, бандформирования понесли большие потери. Леонид Константинов тогда совершал по 7 боевых вылетов в сутки. За три войны, в которых довелось участвовать Леониду Константинову, он совершил несколько сотен боевых вылетов.
31 мая 2001 года Леонид Константинов пилотировал вертолет Ми-8, на борту которого находились группа инспекторов Федеральной пограничной службы РФ и два депутата Государственной Думы РФ. После завершения инспекционной поездки машина возвращалась на базу. Над территорией Республики Ингушетия в районе станицы Нестеровская вертолет внезапно был обстрелян с земли из крупнокалиберного пулемета. Подполковник Константинов получил 6 пулевых ранений в живот, грудь и в голову, но сумел удержать управление вертолетом и вывел его из зоны огня. Своими мужественными действиями он спас жизнь всем находившимся на борту людям. Однако от тяжелых ранений и большой потери крови Леонид Константинов скончался до эвакуации в госпиталь.
Хоронили Леонида Сергеевича по просьбе семьи в г. Чебоксары на Карачуринском кладбище на Аллее Героев. В последний путь Героя провожали сослуживцы, родные и близкие, друзья, знакомые, представители местных органов власти.
Указом Президента Российской Федерации № 952 от 4 августа 2001 года подполковнику Константинову Леониду Сергеевичу за заслуги перед государством и народом, связанные с совершением геройского подвига, присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).
Леонид Константинов удостоен 10 государственных наград, ордена Мужества, знака отличия «За службу на Кавказе». В 31 год получил звание подполковника. Исполнял воинский долг в «горячих точках»: в Афганистане, Таджикистане, Туркменистане, Чечне. 2 раза был ранен.
Улица в родном поселке Липовка названа именем Леонида Константинова. Также здесь установлены две мемориальные доски - на доме, где он вырос, и на здании Липовской средней школы, которая гордо носит имя Героя. При въезде в поселок Ибреси и на доме по улице Пионерская, возле Ибресинской школы №1, установлены баннеры в его честь и в честь других героев-ибресинцев с призывом: «Ибресинцы, будьте достойны наших героев!». В 2008 году в сквере Памяти и Славы поселка Ибреси установлен военный вертолет МИ-8. В апреле 2010 года на родине Героя в п. Липовка открыт музей в его честь.
Кроме того, каждый год в Липовской средней школе ежегодно проводятся соревнования по волейболу памяти Героя.